数列的定义

数列是按照顺序排列的一列数，例如

其一般代数形式可表示如下

可将其简写成

数列与数字集合不同之处是，数列中的数可以重复出现，数列中的每个数都有顺序编号，而集合中不能有重复的元素出现、每个元素也无顺序。

实数范围内的数列可看成是正整数集合与实数集合之间的映射，每个正整数对应一个实数。这个性质与函数的定义很像，其实数列也可看作一个函数，只是自变量的取值范围仅仅是正整数。也可将数列看作一系列有序的离散点组成的函数。

为什么学习数列

相信有些人可能有疑问：“学习数列有什么用？既然数列也是函数的一种特殊情况，为什么要单独拿出来定义和学习呢？”

我们已知的大部分函数的定义域都是连续的区间，而数列可看作将连续定义的函数进行离散化。离散化的好处是什么？已知其性质的连续函数不是更好分析吗？

然而，理论和实际总是有差距的。首先，我们生活中遇到的已知连续函数占比太小了，大部分函数的表达式其实是未知的。其次，就算是已知的函数，我们也无法获取到一个区间所有的连续函数值，因为获取的动作总是按照次数、有顺序地来进行的，而次数总是有限的，所以我们只能获取到有限数量的函数值。

因为生活中数字获取的离散化，只能将其表示成按照顺序排列的一组数字，所以我们才会对数列进行定义和学习。

对于未知的函数，我们无法写出其准确的表达式，那如何分析其性质呢？我们可以采用离散化的方式来对函数值进行采样，当采样的频率越高(即自变量之间的间隔越小)，获取到的函数值就越接近真实的连续函数，即可以用离散的数列来代替连续的函数。离散采样在信号分析中的应用极其广泛，我在这里就不多说了，点到为止。

还是那句说过很多次的话，数学中的定义并非凭空捏造而来的，都是有其实际意义的。数列的定义和意义，你真的懂了吗？只有理解了数列的来源和用途，相信我们才能学得更好、学得更深！